高一数学：三角函数的诱导公式习题课(2)

暂时没有笔记要点。

高一数学 三角函数的诱导公式
习题课 二

同学们好
这节课我们处理
三角函数的诱导公式习题课二
上次课我们处理了
利用诱导公式求值的相关问题
这次课我们谈一谈化简和证明问题
以及较难的求值问题
直接来看例题
化简根号下1加2倍sinπ减2
乘以cosπ加2的结果是
我们注意到题目中出现了
π减2和π加2的正弦与余弦值
这两个角我们应该用诱导公式
先化为角2的三角函数值
其次我们要化简的是一个二次根式
化简二次根式的时候
我们应该把根号里边
凑成平方的形式 便于我们开放
那么这个时候
一 往往就要做相应的变换
我们来看具体的解答过程
根号下1加2倍sinπ减2乘以cosπ加2
根据诱导公式可以写为
根号下1减2倍sin2乘cos2
这个时候1可以写成
sin2的平方加cos2的平方
这时候根号里边就凑成了
完全平方的形式
也就是sin2减cos2的平方再开方
一个数的平方再开方
应该等于这个数的绝对值
所以化简结果为
sin2减cos2的绝对值
这个绝对值符号能不能去掉呢
答案是肯定的
因为角2为第二象限的角
sin2大于cos2
所以最终化简的结果为sin2减cos2
没有绝对值符号了
当我们化简二次根式的时候
往往需要把根式里边
凑成平方的形式
而常数1往往根据需要
写成某个角的正弦和余弦的
平方和的形式
我们来看下一个例题
已知A B C为三角形ABC的三个内角
求证sinA加B等于sinC
sin2分之A加B等于cos2分之C
因为A B C为三角形的三个内角
所以A加B等于π减C
把这个式子两边都除2就会得到
2分之A加B等于2分之π减2分之C
这说明A加B和角C是互补的
而2分之A加B与2分之C是互余的
所以可以用诱导公式来加以证明
证明 因为A B C为
三角形ABC的三个内角
所以sinA加B等于sinπ减C等于sinC
第一个结论就证完了
因为2分之A加B
又等于2分之π减2分之C
所以sin2分之A加B
等于sin2分之π减2分之C
根据诱导公式就等于cos2分之C
所以原命题均成立
我们要注意的是
这两个结论在今后处理
与三角形有关的问题时
有着非常广泛的应用
另外类似的结论还有
cosA加B等于负的cosC
tanA加B等于负的tanC
cos2分之A加B等于sin2分之C
我们来看下一个问题
已知sinα加β得1
求证tan2α加β加上tanβ等于0
我们注意已知条件
出现了sinα加β等于1
这说明角α加β的终边
只能停在y轴的正半轴上
因此α加β等于2kπ加2分之π
这说明角α可以用β角来表示
然后把它代到
我们要求证式子的左边
就可以把α和β角
都统一成β角的三角函数值
从而完成证明
我们来看具体的解答过程
证明 由于sinα加β得1
根据三角函数的定义有
α加β等于2kπ加2分之π k属于Z
所以α可以写为2kπ加2分之π减β
所以tan2α加β加上tanβ
就是我们要证的式子的左边
等于tan2倍
2kπ加2分之π减β加β再加上tanβ
中括号里边我们进行化简
就会得到tan2kπ加π减β加上tanβ
4kπ是2π的整数倍
所以就等于tanπ减β再加tanβ
而π减β的正切就等于负的tanβ
再加上tanβ得0
所以原命题成立
我们要注意的是
当某个角正弦值为1时
这个角的终边只能落在y轴正半轴上
一般来说我们证明等式的思路
应该是这样的
要么从左推右 要么从右推左
要么证明等式两边
都等于同一个相同的式子
好 我们来看下一个例题
三角形ABC中
若sin2π减A等于负根2sinπ减B
根3倍cosA等于负根2cosπ减B
求三角形的三个内角
处理这道题的时候
我们应该注意要求角
应该先求这个角的某个三角函数值
然后再根据这个角所在的象限
最终定出这个角
另外出现了2π减A这样的角
我们仍然可以把A看成锐角
这样的话2π减A的终边
就停在第四象限
所以sin2π减A等于负的sinA
因此处理的时候
先用诱导公式把各个角化简
我们来看具体的解答过程
由已知条件可得
sinA等于根2倍sinB
且根3倍cosA等于根2倍cosB
上边为1式 下边为2式
1式和2式平方相加可得
sinA的平方加上3倍cosA的平方得2
在这我们继续往下处理的时候
就会有两种思路
第一种思路是
把sinA的平方用1减cosA的平方替换
最终可以解出cosA的值
另外一个思路是
把cosA的平方
用1减sinA的平方来替换
最终可以求出sinA的值
我们是求sinA的值好
还是求cosA的值好呢
应该求cosA好一些 为什么呢
因为在三角形里边
我们知道某个角的正弦值
这个角是锐角还是钝角
是确定不了的
但是一旦知道这个角的余弦值
这个角的象限也就确定了
所以我们应该把sinA的平方换成
1减cosA的平方求余弦值
换完之后2倍cosA的平方得1
因此cosA的平方得2分之1
开方cosA得正负2分之根2
有两种可能我们一一来讨论
若cosA得2分之根2
则根据2式cosB就得2分之根3
因为0小于A小于2分之π
0小于B小于2分之π
所以角A就是4分之π B是6分之π
角可以由π减A减B来求得
也就是12分之7π
第二种情况
若cosA等于负的2分之根2
根据2式cosB也得负的2分之根3
所以角A大于2分之π
角B也大于2分之π
这是不合题意的
因为三角形内角和是π 所以舍去
综上所述三角形ABC中
A得4分之π B得6分之π
C得12分之7π
我们要注意的是
一 虽然形如2π减α的诱导公式
没有正式给出
但实际上诱导公式是可以推广的
只要是形如轴角加减α的形式
都可用规律
奇变偶不变 符号看象限来化简
二 在三角形中求角时候
要注意求该角的余弦或正切值
因为这样便于判断
该角是锐角还是钝角
希望大家注意
小结 诱导公式在三角函数的
求值 化简 证明等问题中
有着广泛的应用
既能提供化简依据
又能提供解题思路
是我们学习三角函数重要的基础公式
希望大家给予重视
好 这节课我们就上到这
同学们 再见
（完）
晓杏

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